4.7. 配对矩阵,类别以及核函数

sklearn.metrics.pairwise 子模块实现了用于评估

成对距离或样本集合之间的联系的实用程序。

本模块同时包含距离度量和核函数,对于这两者这里提供一个简短的总结。

距离度量是形如 d(a, b) 的函数,如果 目标 ab 被认为 “更加相似” 相比 目标 ac,那么 d(a, b) < d(a, c)。两个完全相同的目标的距离是零。最广泛使用的例子就是欧几里得距离。 为保证是 ‘真实’ 的度量,其必须满足以下条件:

1. 对于所有的 a 和 b,d(a, b) >= 0,
2. 正定性:当且仅当 a = b时,d(a, b) == 0
3. 对称性:d(a, b) == d(b, a)
4. 三角不等式:d(a, c) <= d(a, b) + d(b, c)

核函数是相似度的标准,即如果目标 ab 相比 ac“更加相似”, 那么``s(a, b) > s(a, c)``。 核函数必须是半正定性的。

存在许多种方法将距离度量转换为相似度标准,例如核函数。假定``D``是距离,并且``S``是核函数:

  1. S = np.exp(-D * gamma), 其中``gamma`` 的一种选择是``1 / num_features``
  2. S = 1. / (D / np.max(D))

4.7.1. 余弦相似度

cosine_similarity 计算L2正则化的向量的点积。也就是说,如果 xy 都是行向量, 它们的余弦相似度 k 定义为:

k(x, y) = \frac{x y^\top}{\|x\| \|y\|}

这被称为余弦相似度,因为欧几里得(L2) 正则化将向量投影到单元球内,那么它们的点积就是被向量表示的点之间的角度。

这种核函数对于计算以tf-idf向量表示的文档之间的相似度是一个通常的选择。 cosine_similarity 接受 scipy.sparse 矩阵. (注意到``sklearn.feature_extraction.text``中的tf-idf函数能计算归一化的向量,在这种情况下 cosine_similarity 等同于 linear_kernel,只是慢一点而已。)

References:

4.7.2. 线性核函数

函数 linear_kernel 计算线性核函数,也就是一种在 degree=1coef0=0 (同质化) 情况下的
polynomial_kernel 的特殊形式。

如果 x and y 是列向量,它们的线性核函数是:

k(x, y) = x^\top y

4.7.3. 多项式核函数

函数 polynomial_kernel 计算两个向量的d次方的多项式核函数。 多项式核函数代表着两个向量之间的相似度。 概念上来说,多项式核函数不仅考虑相同维度还考虑跨维度的向量的相似度。当被用在机器学习中的时候,这可以原来代表着特征之间的 相互作用。

多项式函数定义为:

k(x, y) = (\gamma x^\top y +c_0)^d

其中:

  • x, y 是输入向量
  • d 核函数维度

如果 c_0 = 0 那么核函数就被定义为同质化的。

4.7.4. S型核函数

函数 sigmoid_kernel 计算两个向量之间的S型核函数。 S型核函数也被称为双曲切线或者 多层感知机(因为在神经网络领域,它经常被当做激活函数). S型核函数定义为:

k(x, y) = \tanh( \gamma x^\top y + c_0)

其中:

  • x, y 是输入向量
  • \gamma 是斜度
  • c_0 是截距

4.7.5. RBF核函数

函数 rbf_kernel 计算计算两个向量之间的径向基函数核 (RBF) 。 其定义为:

k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|^2)

其中 xy 是输入向量。如果 \gamma = \sigma^{-2} 核函数就变成方差为 \sigma^2 的高斯核函数。

4.7.6. 拉普拉斯核函数

函数 laplacian_kernel 是一种径向基函数核的变体,定义为:

k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|_1)

其中 x and y 是输入向量并且 \|x-y\|_1 是输入向量之间的曼哈顿距离。

已被证明在机器学习中运用到无噪声数据中是有用的。 可见例如 Machine learning for quantum mechanics in a nutshell.

4.7.7. 卡方核函数

在计算机视觉应用中训练非线性支持向量机时,卡方核函数是一种非常流行的选择。 它能以 chi2_kernel 计算然后以参数 ``kernel=”precomputed”``传递到 sklearn.svm.SVC

>>> from sklearn.svm import SVC
>>> from sklearn.metrics.pairwise import chi2_kernel
>>> X = [[0, 1], [1, 0], [.2, .8], [.7, .3]]
>>> y = [0, 1, 0, 1]
>>> K = chi2_kernel(X, gamma=.5)
>>> K                        
array([[ 1.        ,  0.36...,  0.89...,  0.58...],
       [ 0.36...,  1.        ,  0.51...,  0.83...],
       [ 0.89...,  0.51...,  1.        ,  0.77... ],
       [ 0.58...,  0.83...,  0.77... ,  1.        ]])

>>> svm = SVC(kernel='precomputed').fit(K, y)
>>> svm.predict(K)
array([0, 1, 0, 1])

也可以直接使用 kernel 变量:

>>> svm = SVC(kernel=chi2_kernel).fit(X, y)
>>> svm.predict(X)
array([0, 1, 0, 1])

卡方核函数定义为

k(x, y) = \exp \left (-\gamma \sum_i \frac{(x[i] - y[i]) ^ 2}{x[i] + y[i]} \right )

数据假定为非负的,并且已经以L1正则化。 归一化随着与卡方平方距离的连接而被合理化,其是离散概率分布之间的距离。

卡方核函数最常用于可视化词汇的矩形图。

References: